Glidande medelvärde sinusvåg

JEE Kursplan JEE Matematik Kursplan Algebra av komplexa tal, addition, multiplikation, konjugation, polär representation, egenskaper hos modul och huvudargument, triangelikhet, kubens rötter av enhet, geometriska tolkningar. Kvadratiska ekvationer med reella koefficienter, relationer mellan rötter och koefficienter, bildning av kvadratiska ekvationer med givna rötter, symmetriska funktioner av rötter. Aritmetiska, geometriska och harmoniska progressioner, aritmetiska, geometriska och harmoniska medel, summor av ändliga aritmetiska och geometriska progressioner, oändlig geometrisk serie, summor av kvadrater och kuber av de första n naturliga talen. Logaritmer och deras egenskaper. Permutationer och kombinationer, Binomialteorem för ett positivt integrerat index, egenskaper hos binomialkoefficienter. Matriser som en rektangulär grupp av reella tal, jämlikhet av matriser, addition, multiplikation med en skalär och matrisprodukt, transponering av en matris, determinant av en kvadratisk matris av ordning upp till tre invers av en kvadratisk matris i ordning upp till tre egenskaper hos dessa matrisoperationer, diagonala, symmetriska och skevsymmetriska matriser och deras egenskaper, lösningar av samtidiga linjära ekvationer i två eller tre variabler. Tilläggs - och multiplikationsregler för sannolikhet, villkorlig sannolikhet, händelsens oberoende, beräkning av sannolikheten för händelser med användning av permutationer och kombinationer. Trigonometriska funktioner, deras periodicitet och grafer, addition och subtraktion formler, formler som involverar flera och sub-multipla vinklar, allmän lösning av trigonometriska ekvationer. Relationer mellan sidor och vinklar av en triangel, sinusregel, cosinusregel, halvvinkelformel och en triangels yta, inversa trigonometriska funktioner (endast huvudvärdet). Två dimensioner. Kartesiska koordinater, avstånd mellan två punkter, sektionsformler, ursprungsskifte. Ekvation av en rak linje i olika former, vinkel mellan två linjer, avstånd av en punkt från en linje. Linjer genom skärningspunkten mellan två givna linjer, ekvationen av bisektorn av vinkeln mellan två linjer, samtidighet av linjer, centroid, orthocentre, incentre och circumcentre av en triangel. Ekvation av en cirkel i olika former, ekvationer av tangent, normal och ackord. Parametriska ekvationer i en cirkel, korsning av en cirkel med en rak linje eller en cirkel, en ekvation av en cirkel genom skärningspunkten mellan två cirklar och en cirkel och en rak linje. Ekvationer av en parabola, ellips och hyperbola i standardform, deras foci, directrices och excentricitet, parametriska ekvationer, ekvationer av tangent och normal. Tre dimensioner. Riktningskosininer och riktningsförhållanden, ekvation för en rak linje i rymden, ekvation för ett plan, avstånd av en punkt från ett plan. Verkliga värderade funktioner av en reell variabel, till, på och en till en-funktioner, summa, skillnad, produkt och kvotient för två funktioner, kompositfunktioner, absolutvärde, polynomiala, rationella, trigonometriska, exponentiella och logaritmiska funktioner. Gräns ​​och kontinuitet för en funktion, gräns och kontinuitet i summan, skillnaden, produkten och kvoten av två funktioner, lHospitalregeln för utvärdering av funktionsgränser. Jämna och udda funktioner, invers av en funktion, kontinuitet i kompositfunktioner, mellanvärdesegenskaper för kontinuerliga funktioner. Derivat av en funktion, derivat av summan, skillnaden, produkten och kvoten av två funktioner, kedjeregel, derivat av polynom, rationella, trigonometriska, inverse trigonometriska, exponentiella och logaritmiska funktioner. Derivat av implicita funktioner, derivat upp till order två, geometrisk tolkning av derivatet, tangenter och normaler, ökning och minskning av funktioner, maximala och minsta värden för en funktion, tillämpningar av Rolles Theorem och Lagranges Mean Value Theorem. Integration som den inverterade processen med differentiering, obestämda integraler av standardfunktioner, bestämda integraler och deras egenskaper, tillämpning av den grundläggande metoden för integrerad analys. Integration av delar, integration med substitutionsmetoder och partiella fraktioner, tillämpning av bestämda integraler för bestämning av områden med enkla kurvor. Formation av vanliga differentialekvationer, lösning av homogena differentialekvationer, variabler separerbar metod, linjära första ordningens differentialekvationer. Tillägg av vektorer, skalär multiplikation, skalärprodukter, punkt - och korsprodukter, skalär trippelprodukter och deras geometriska tolkningar. JEE Chemistry Syllabus Allmänna ämnen. Konceptet med atomer och molekyler Daltons atomteori Molekoncept Kemiska formler Balanserade kemiska ekvationer Beräkningar (baserat på molkoncept) som involverar vanliga oxidationsreduktions-, neutraliserings - och förskjutningsreaktioner Koncentration med avseende på molfraktion, molaritet, molalitet och normalitet. Gasformiga och flytande tillstånd. Absolut temperaturskala, idealisk gasekvation Avvikelse från idealitet, van der Waals-ekvation Kineticteori om gaser, medelvärde, rotenhetens kvadrat och mest sannolika hastigheter och deras förhållande till temperaturen Partialtryck Ångtryck Diffusion av gaser. Atomstruktur och kemisk bindning: Bohr-modell, vätgasspektrum, kvantantal Vågpartikelduality, de Broglie-hypotesen Osäkerhetsprincip Kvantmekanisk bild av väteatom (kvalitativ behandling), former av s, p och d-orbitaler Elektroniska konfigurationer av element ( upp till atomnummer 36) Aufbau-principen Paulis uteslutningsprincip och Hundregeln Orbitalöverlapp och kovalent bindning Hybridisering med endast s-, p - och d-orbitaler Orbitalt energidiagram för homonukleära diatomiska arter Vätebindning Polaritet i molekyler, dipolmoment (endast kvalitativa aspekter) VSEPR-modell och former av molekyler (linjär, vinkel, triangulär, kvadratisk plan, pyramidal, kvadratisk pyramidal, trigonal bipyramidal, tetrahedral och oktaedisk). Energetik. Första lagen om termodynamik Intern energi, arbete och värme, tryckvolymarbete Enthalpy, Hesss lag Reaktionsreaktion, fusion och förångning Andra lag av termodynamik Entropi Fri energi Kriterium spontanitet. Kemisk jämvikt. Massmedelslagen jämviktskonstant, Le Chateliers-principen (effekten av koncentration, temperatur och tryck) Betydelsen av DG och DGo i kemisk jämvikt Löslighetsprodukt, gemensam jon-effekt, pH - och buffertlösningar Syror och baser (Bronsted och Lewis-koncept) Hydrolys av salter . Elektrokemi. Elektrokemiska celler och cellreaktioner Elektrodepotentialer Nernst ekvation och dess relation till GD Elektrokemiska serier, emf av galvaniska celler Faradays elektrolyselektroder Elektrolytisk konduktans, specifik, ekvivalent och molär konduktivitet, Kohlrauschs Law Concentration cells. Kemisk kinetik. Kemiska reaktionshastigheter Reaktionsordning Reaktionshastighet Konstant Första reaktionsreaktioner Temperaturberoende av hastighetskonstant (Arrhenius ekvation). Fast tillstånd . Klassificering av fasta substanser, kristallin stat, sju kristallsystem (cellparametrar a, b, c, a, b, g), nära packade strukturer av fasta ämnen (kubik), packning i fcc, bcc och hcp gitter Nästgrannar, joniska rader, enkla joniska föreningar, punktfel. Lösningar. Raoults lag Molekylviktsbestämning från sänkning av ångtryck, kokpunktsförhöjning och frysningspunkten. Ytkemi. Elementära begrepp för adsorption (exklusive adsorptionsisotermer) Kolloider: typer, beredningsmetoder och allmänna egenskaper Elementära tankar om emulsioner, ytaktiva ämnen och miceller (endast definitioner och exempel). Kärnkemi. Radioaktivitet: isotoper och isobar Egenskaper för a-, b - och g-strålar Kinetik för radioaktivt sönderfall (uteslutande sönderfallsserie), koldatering Stabilitet hos kärnor med avseende på proton-neutronförhållande Kort diskussion om fissions - och fusionsreaktioner. Isolationspreparation och egenskaper hos följande icke-metaller. Bor, kisel, kväve, fosfor, syre, svavel och halogener Egenskaper för allotroper av kol (endast diamant och grafit), fosfor och svavel. Beredning och egenskaper hos följande föreningar: Oxider, peroxider, hydroxider, karbonater, bikarbonater, klorider och sulfater av natrium-, kalium-, magnesium - och kalciumborr. diboran, borsyra och borax Aluminium: aluminiumoxid, aluminiumklorid och alunkarboner Koldioxid: oxider och oxisyra (kolsyra) Kisel: silikater, silikater och kiselkarbid Kväve: oxider, oxisyror och ammoniak Fosfor: oxider, oxisyror (fosforsyra, fosforsyra) och fosfon Syre: ozon och väteperoxid Svavel: vätesulfid, oxider, svavelsyra, svavelsyra och natriumtiosulfat Halogener: Halogenhalter, oxider och oxider av klor, blekmedel Xenonfluorider Gödselmedel: kommersiellt tillgänglig (vanlig) NPK-typ. Övergångselement (3d-serien). Definition, allmänna egenskaper, oxidationstillstånd och deras stabilitet, färg (med undantag för detaljerna i elektroniska övergångar) och beräkning av magnetiskt magnetiskt snurrande moment. Koordineringsföreningar: Nomenklatur för mononukleära koordinationsföreningar, cis-trans och joniseringsisomerer, hybridisering och geometrier av mononukleär koordinering föreningar (linjär, tetraedrisk, kvadratisk plan och oktaedisk). Framställning och egenskaper hos följande föreningar. Oxider och klorider av tenn och bly Oxider, klorider och sulfater av Fe2, Cu2 och Zn2 Kaliumpermanganat, kaliumdikromat, silveroxid, silvernitrat, silvertiosulfat. Malmer och mineraler. Vanligt förekommande malmer och mineraler av järn, koppar, tenn, bly, magnesium, aluminium, zink och silver. Extraktiv metallurgi. Kemiska principer och reaktioner endast (industriella detaljer uteslutna) Koldioxidreduceringsmetod (järn och tenn) Självreduceringsmetod (koppar och bly) Elektrolytisk reduktionsmetod (magnesium och aluminium) Cyanidprocess (silver och guld). Principer för kvalitativ analys. Grupper I till V (endast Ag, Hg2, Cu2, Pb2, Bi3, Fe3, Cr3, Al3, Ca2, Ba2, Zn2, Mn2 och Mg2) Nitrat, halogenider (exklusive fluorid), sulfat, sulfid och sulfit. Begrepp. Hybridisering av kol Sigma - och pi-bindningar Molekylformar Strukturell och geometrisk isomerism Optisk isomer av föreningar som innehåller upp till två asymmetriska centra, (R, S och E, Z-nomenklaturen undantagen) IUPAC-nomenklaturen av enkla organiska föreningar (endast kolväten, monofunktionella och bi-funktionella föreningar) Konformationer av etan och butan (Newman-projektioner) Resonans och hyperkonjugering Keto-enoltautomerism Bestämning av empirisk och molekylär formel för enkla föreningar (endast förbränningsmetod) Vätebindningar: definition och deras effekter på fysikaliska egenskaper hos alkoholer och karboxylsyra syror Induktiva och resonanseffekter på syra och basicitet av organiska syror och baser Polaritet och induktiva effekter i alkylhalider Reaktiva mellanprodukter framställda under homolytisk och heterolytisk bindningsklyvning Formation, struktur och stabilitet av karbokationer, karbanioner och fria radikaler. Beredning, egenskaper och reaktioner av alkaner. Homologa serier, alkaliska fysikaliska egenskaper (smältpunkter, kokpunkter och densitet) Förbränning och halogenering av alkaner Framställning av alkaner genom Wurtz-reaktion och dekarboxyleringsreaktioner. Framställning, egenskaper och reaktioner av alkener och alkyner. Alkyler och alkyners fysikaliska egenskaper (kokpunkter, densitet och dipolmoment) Surhet av alkyner Syrakatalyserad hydrering av alkener och alkyner (med undantag för stereokemin för tillsats och eliminering) Reaktioner av alkener med KMnO4 och ozon Reduktion av alkener och alkyner Framställning av alkener och alkyner alkyner genom eliminationsreaktioner Elektrofila tillsatsreaktioner av alkener med X2, HX, HOX och H2O (Xhalogen) Additionsreaktioner av alkyner Metallacetylider. Reaktioner av bensen. Struktur och aromaticitet Elektrofila substitutionsreaktioner: halogenering, nitrering, sulfonering, alkylering och acylering av Friedel-Crafts Effekt av o-, m - och p-styrande grupper i monosubstituerade bensener. Fenoler. Surhet, elektrofila substitutionsreaktioner (halogenering, nitrering och sulfonering) Reimer-Tieman-reaktion, Kolbe-reaktion. Karakteristiska reaktioner av följande (inklusive de som nämnts ovan). Alkylhalogenider: omorganiseringsreaktioner av alkylkarbokation, Grignardreaktioner, nukleofila substitutionsreaktioner Alkoholer: Förestring, dehydratisering och oxidation, reaktion med natrium, fosforhalider, ZnCl2-konc. - HCl, omvandling av alkoholer till aldehyder och ketoner Aldehyder och ketoner: oxidation, reduktion, oxim - och hydrazonbildning aldolkondensation, Perkin-reaktion Cannizzaro-reaktionshaloformreaktion och nukleofila tillsatsreaktioner (Grignard-tillsats) Karboxylsyror: bildning av estrar, syraklorider och amider, esterhydrolys Aminer: basicitet av substituerade aniliner och alifatiska aminer, beredning från nitroföreningar, reaktion med salpetersyra, azo-kopplingsreaktion av diazoniumsalter av aromatiska aminer, Sandmeyer och besläktade reaktioner av diazoniumsalterkarbylaminreaktion Haloarener: nukleofil aromatisk substitution i haloarener och substituerade haloarener - (exklusive Benzyne-mekanism och Cine-substitution). Kolhydrater. Klassificering av mono - och di-sackarider (glukos och sackaros) Oxidering, reduktion, glykosidbildning och hydrolys av sackaros. Aminosyror och peptider. Allmän struktur (endast primär struktur för peptider) och fysikaliska egenskaper. Egenskaper och användningar av några viktiga polymerer. Naturgummi, cellulosa, nylon, teflon och PVC. Praktisk organisk kemi. Detektion av element (N, S, halogener) Detektion och identifiering av följande funktionella grupper: hydroxyl (alkoholisk och fenolisk), karbonyl (aldehyd och keton), karboxyl, amino och nitro Kemiska metoder för separation av monofunktionella organiska föreningar från binära blandningar. JEE Physics Syllabus General. Enheter och mått, dimensioneringsanalys minsta räkning, signifikanta siffror Metoder för mätning och felanalys för fysiska kvantiteter avseende följande experiment: Experiment baserade på användning av vernierkaliprar och skruvmätare (mikrometer), Bestämning av g med enkel pendel, Youngs modul av Searles Metod, Specifik värme för en vätska med hjälp av kalorimeter, brännvidd av en konkav spegel och en konvex lins med UV-metod, Ljudhastighet med resonanskolonn, Verifiering av Ohms-lagen med hjälp av voltmeter och ammeter och specifik resistans av materialet i en tråd med användning av meter bro och postkontor låda. Mekanik. Kinematik i en och två dimensioner (endast kartesiska koordinater), projektiler Cirkulär rörelse (enhetlig och ojämn) Relativ hastighet. Newtons lagar av rörelse Tröghet och enhetligt accelererade referensramar Statisk och dynamisk friktion Kinetisk och potentiell energi Arbete och kraft Bevarande av linjär moment och mekanisk energi. System av partiklar Centrum för massa och dess rörelse Impuls Elastiska och oelastiska kollisioner. Gravitationslag Gravitationspotential och fält Acceleration på grund av tyngdkraft Förflyttning av planeter och satelliter i cirkulära banor. Stram kropp, tröghetsmoment, parallella och vinkelräta axelteorier, tröghetsmoment med likformiga kroppar med enkla geometriska former. Vinkelmoment. Moment Behållning av vinkelmoment. Dynamik av styva kroppar med fast rotationsaxel. Rullande utan att ringar av ringar, cylindrar och sfärer balanseras. styva kroppar Kollision av punktmassor med styva kroppar. Linjära och vinklade enkla harmoniska rörelser. Hookes lag, Youngs modulus. Tryck i en flytande Pascal-lag Fröja Yta energi och ytspänning, kapillär ökning Viskositet (exkluderad Poiseuilles ekvation), Stokes law Terminalhastighet, Streamline flöde, Jämställdhetsförhållande, Bernoullis teorem och dess tillämpningar. Vågrörelse (endast planvågor), longitudinella och tvärgående vågor, Superposition av vågor progressiva och stationära vågor Vibration av strängar och luftkolumner. Resonansbeats Ljudhastighet i gaser Doppler effekt (i ljud). Termisk fysik. Termisk expansion av fasta ämnen, vätskor och gaser Kalorimetri, latent värme Värmeledning i en dimension Elementära begrepp konvektion och strålning Newtons lag för kylning Idealiska gaslagar Specifika värmer (Cv och Cp för monatomiska och diatomiska gaser) Isotermiska och adiabatiska processer, bulkmodul av gaser Värmevärde och arbetsvärde Första lagen om termodynamik och dess tillämpningar (endast för idealiska gaser). Blackbody strålning: absorberande och utsläppande befogenheter Kirchhoffs lag, Wiens förskjutnings lag, Stefans lag. Elektricitet och magnetism. Coulombs lag Elektriskt fält och potential Elektrisk Potentiell energi i ett system av punktladdningar och elektriska dipoler i ett enhetligt elektrostatiskt fält, Elektriska fältlinjer Flöde av elektrisk fält Gausss lag och dess tillämpning i enkla fall, till exempel att hitta fält på grund av oändligt lång rak tråd, jämnt laddat oändligt planark och jämnt laddat tunt sfäriskt skal. Kapacitansparallellplatta kondensator med och utan dielektrikum Kondensatorer i serie och parallell Energi lagrad i en kondensator. Elektrisk ström: Ohms lag Serie och parallella arrangemang av resistanser och celler Kirchhoffs lagar och enkla tillämpningar Uppvärmningseffekt av ström. Biot-Savart lag och Amperes lag, magnetfält nära en strömgående rak tråd, längs en cirkulär spole axel och inuti en lång rak magnetstyrka på en rörlig laddning och på en strömförande tråd i ett likformigt magnetfält. Magnetisk moment av en strömslinga Effekt av ett likformigt magnetfält på en strömslinga. Rörlig spol galvanometer, voltmeter, ammeter och deras omvandlingar. Elektromagnetisk induktion . Faradays lag, Lenzs lag Själv och ömsesidigt induktans RC, LR och LC kretsar med d. c. och a. c. källor. Optik. Rektilinär spridning av ljus Reflektion och brytning vid plan och sfäriska ytor Total intern reflektion Avvikelse och dispersion av ljus med ett prisma Tunna linser Kombinationer av speglar och tunna linser Förstoring. Våg naturen av ljus. Huygens-principen, inblandning begränsad till Youngs dubbel-slits experiment. Modern fysik. Atomkärnan Alfa-, beta - och gammastrålning Lag av radioaktivt sönderfall Förfallskonstant Halveringstid och medelliv Bindande energi och dess beräkning Fission - och fusionsprocesser Energibalans i dessa processer. Fotoelektrisk effekt Bohrs teori om väteliknande atomer Karakteristisk och kontinuerlig röntgenstrålning, Moseleys law de Broglie våglängd av materiens vågor. JEE Kursplan för Aptitude Test i B. Arch. amp. Freehand teckning. Detta skulle innefatta en enkel ritning som visar det totala objektet i sin rätta form och proportion, ytstruktur, relativ plats och detaljer av dess beståndsdelar i lämplig skala. Vanliga hemliga eller dagliga liv användbara föremål som möbler, utrustning, etc. från minnet. Geometrisk ritning. Övningar i geometrisk ritning som innehåller linjer, vinklar, trianglar, fyrkantiga sidor, polygoner, cirklar etc. Studie av plan (toppvy), höjd (framifrån eller sidovyer) av enkla, solida föremål som prismor, kottar, cylindrar, kuber, plåtade ytbehållare mm . Tredimensionell uppfattning Förstå och uppskatta tredimensionella former med byggnadselement, färg, volym och orientering. Visualisering genom att strukturera objekt i minnet. Föreställning och estetisk känslighet. Sammansättning övning med givna element. Kontextmappning. Kreativitet kontrollera genom innovativa ovanliga test med välbekanta objekt. Sans för färggruppering eller applikation. Arkitektonisk medvetenhet. Allmänt intresse och medvetenhet om kända arkitektoniska skapelser - både nationella och internationella, platser och personligheter (arkitekter, designers etc.) i den relaterade domänen. RMS Spänningsövning I vår handledning om AC-vågformen såg vi kortfattat på RMS-spänningsvärdet av en sinusformig vågform och sa att detta RMS-värde ger samma uppvärmningseffekt som en likvärdig likström och i denna handledning kommer vi att expandera på denna teori lite mer genom att titta på RMS-spänningar och strömmar mer detaljerat. Termen 8220RMS8221 står för 8220Root-Mean-Squared8221. De flesta böcker definierar detta som 8220mängden växelström som producerar samma värmeeffekt som en likvärdig likström8221 eller något liknande i dessa linjer, men ett RMS-värde är mer än bara det. RMS-värdet är kvadratroten av medelvärdet (medelvärdet) för den kvadrerade funktionen av de momentana värdena. Symbolerna som används för att definiera ett RMS-värde är V RMS eller I RMS. Termen RMS, ENDAST hänvisar till tidsvarierande sinusformade spänningar, strömmar eller komplexa vågformar var vågformens storlek förändras över tid och används ej i DC-kretsanalys eller beräkningar var storleken alltid är konstant. När det används för att jämföra det ekvivalenta RMS-spänningsvärdet för en alternerande sinusformig vågform som tillför samma elektrisk effekt till en given belastning som en likvärdig likströmskrets, kallas RMS-värdet 8220effektivt värde8221 och presenteras generellt som: V eff eller I eff. Med andra ord är det effektiva värdet ett likvärdigt likvärdigt värde som berättar hur många volt eller ampere av DC som en tidsvarierande sinusformad vågform är lika med avseende på dess förmåga att producera samma effekt. Till exempel är den inhemska nätaggregatet i Storbritannien 240Vac. Detta värde antas indikera ett effektivt värde på 8220240 Volt rms8221. Det betyder då att den sinusformala rms-spänningen från vägguttagen i ett brittiskt hem är kapabel att producera samma genomsnittliga positiva effekt som 240 volt stabil likspänning som visas nedan. RMS-spänning ekvivalent Så hur beräknas RMS-spänningen i en sinusformad vågform. RMS-spänningen hos en sinusformad eller komplex vågform kan bestämmas genom två grundläggande metoder. Grafisk metod 1608211160 som kan användas för att hitta RMS-värdet av en icke-sinusformad tidsvarierande vågform genom att dra ett antal mittkoordinater på vågformen. Analytisk metod 1608211160 är ett matematiskt förfarande för att hitta det effektiva eller RMS-värdet av någon periodisk spänning eller ström med användning av kalkylen. RMS-spänning Grafisk metod Medan beräkningsmetoden är densamma för båda halvorna av en AC-vågform, för detta exempel kommer vi att överväga endast den positiva halvcykeln. Det effektiva eller rms-värdet av en vågform kan hittas med en rimlig mängd noggrannhet genom att ta jämnt åtskilda momentanvärden längs vågformen. Den positiva halvan av vågformen är uppdelad i ett antal 8220n8221 lika delar eller mittkoordinater och ju mer mittenordinat som dras längs vågformen desto mer exakt blir slutresultatet. Bredden på varje mittlinje kommer därför att vara n o grader och höjden av varje mittlinje kommer att vara lika med vågformens momentana värde vid den tiden längs vågformens x-axel. Grafisk metod Varje medelvärde för en vågform (spänningsvågformen i detta fall) multipliceras med sig själv (kvadrerad) och läggs till nästa. Denna metod ger oss 8220square8221 eller Squared-delen av RMS-spänningsuttrycket. Därefter delas det här kvadrerade värdet med antalet medelvärden som används för att ge oss den genomsnittliga delen av RMS-spänningsuttrycket, och i vårt enkla exempel ovan var antalet använda medelvärden tolv (12). Slutligen befinner sig kvadratroten av föregående resultat för att ge oss Roten-delen av RMS-spänningen. Då kan vi definiera termen som används för att beskriva en rms spänning (V RMS) som 8220 kvadratroten av medelvärdet av kvadraten av mittvågformen för spänningsvågformen22221 och detta ges som: och för vårt enkla exempel ovan RMS-spänning beräknas som: Således antar vi att en växelspänning har en toppspänning (V pk) på 20 volt och genom att ta 10 mid-koordinatvärden kan det variera under en halvcykel enligt följande: Då RMS-spänningsvärdet använder Den grafiska metoden ges som: 14,14 Volt. RMS-spänningsanalysmetod Den grafiska metoden ovan är ett mycket bra sätt att hitta den effektiva eller RMS-spänningen (eller strömmen) av en växlande vågform som inte är symmetrisk eller sinusformad. Med andra ord liknar vågformen den som en komplex vågform. Men när vi hanterar rena sinusformade vågformer kan vi göra livet lite enklare för oss själva med hjälp av en analytisk eller matematisk metod att hitta RMS-värdet. En periodisk sinusformad spänning är konstant och kan definieras som V (t) Vm. cos (969116) med en period av 084. Därefter kan vi räkna rms-värdet av en sinusformad spänning (V (t) ) som: Integreringen med gränserna från 0 till 360 o eller 8220T8221, ger perioden: Dividing through further as 9690320322960T. Den komplexa ekvationen ovan reduceras så småningom också: RMS-spänningsekvation Sedan bestäms RMS-spänningen (V RMS) för en sinusformad vågform genom att multiplicera toppspänningsvärdet med 0,7071. vilket är detsamma som en dividerat med kvadratroten på två (160 18730 2 160). RMS-spänningen, som även kan betecknas som det effektiva värdet, beror på vågformens storlek och är inte en funktion av antingen vågformsfrekvensen eller dess fasvinkel. Från det grafiska exemplet ovan gavs toppspänningen (Vpk) hos vågformen som 20 volt. Genom att använda den definierade analysmetoden kan vi beräkna RMS-spänningen som: Observera att det här värdet på 14,14 volt är samma värde som för den tidigare grafiska metoden. Då kan vi antingen använda den grafiska metoden för midordinate eller den analytiska beräkningsmetoden för att hitta RMS-spänningen eller strömvärdena för en sinusformig vågform. Observera att multiplicera topp - eller maximivärdet med konstanten 0.7071. Gäller endast sinusformade vågformer. För icke-sinusformade vågformer måste den grafiska metoden användas. RMS Spänningssammanfattning Då sammanfattas. När vi arbetar med växelspänningar (eller strömmar) står vi inför problemet med hur vi representerar en spänning eller signalstyrka. Ett enkelt sätt är att använda toppvärdena för vågformen. En annan vanlig metod är att använda det effektiva värdet som också är känt genom sitt mer vanliga uttryck för Root Mean Square eller helt enkelt RMS-värdet. Rotenvärdet kvadratisk, RMS-värdet för en sinusoid är inte detsamma som genomsnittet av alla momentana värden. Förhållandet mellan RMS-värdet av spänning och det maximala värdet av spänning är samma som förhållandet mellan RMS-värdet av strömmen och det maximala värdet av strömmen. De flesta flera meter, antingen voltmetrar eller ammetrar, mäter RMS-värdet förutsatt en ren sinusformad vågform. För att hitta RMS-värdet av icke-sinusformig vågform krävs en 8220True RMS Multimeter8221. RMS-värdet av en sinusformig vågform ger samma värmeeffekt som en likström av samma värde. Det är om en likström, jag passerar genom ett motstånd av R ohm. Den likström som förbrukas av motståndet som värme kommer därför att vara I 2 R watt. Då om en växelström, i160160Im. sin952 strömmar genom samma motstånd, omvandlas växelströmmen till värme: I 2 rms. R watt. Då bör man behandla RMS-värden om inte annat anges när man arbetar med växelspänningar och strömmar. Därför har en växelström på 10 ampere samma uppvärmningseffekt som en likström på 10 ampere och ett maximalt värde på 14,14 ampere. Efter att ha bestämt RMS-värdet för en växelspänning (eller aktuell) vågform, kommer vi i nästa handledning att se på att beräkna medelvärdet. V AV av en växelspänning och äntligen jämföra de två. En annan snabb fastpunktssynkronisering Så här ser jag fram emot en trevlig lugn helg hänga tillbaka, titta på lite telly och kanske läsa lite ndash men NNnnneeeEEEEEUUUuuuuuuuu Någon måste skriva en intressant artikel om sinans approximation. Med en utmaning i slutet. Och med en ineffektiv typ av approximation. Och så nu, i stället för att bara slappna av, måste jag spendera hela helgen och det mesta av veckan är ett bättre sätt att göra det. Jag hatar det när det här händer. Sarkasm åt sidan, det är en intressant läsning. Medan det vanliga sättet att beräkna en sinusdash via en look-up-tabell ndash fungerar och fungerar bra, är det bara något obehagligt om det. Den LUT-baserade metoden är bara hellip tråkig. Oinspirerad. Feg. Inelegant. Att hitta en lämplig algoritm för den kräver däremot ansträngning och en kreativitet, så något som alltid pekar mitt intresse. I detta fall är dess sinus approximation. Jag har undrat över det när jag gjorde min arctanartikel. men tänkte att det skulle kräva för många villkor att verkligen vara värt ansträngningen. Men tittar på Mr Schrauts inlägg (vars webbplats du borde besöka från tid till annan också där är bra saker där) det verkar som om du kan få en bra version ganska snabbt. Artikeln centrerar kring det arbete som hittades på devastergarn 5784. Som härledde följande två ekvationer: Dessa approximationer fungerar ganska bra, men jag känner att det faktiskt använder den felaktiga utgångspunkten. Det finns alternativa approximationer som ger mer exakta resultat till nästan ingen extra kostnad i komplexitet. I det här inlägget, Ill härleda högre ordning alternativ för båda. I förbigående talar jag också om några av de verktyg som kan hjälpa till att analysera funktioner och givetvis ge någon källkod och göra några jämförelser. 1.1 Symmetri Det första analytiska verktyget är symmetri. Symmetri är faktiskt ett av de mest kraftfulla begreppen som någonsin tagits upp. Symmetri av tid leder till bevarandet av energisymmetrin i rymden leder till bevarande av momentum i en 3D-värld, symmetri av riktning ger upphov till den inverse kvadratiska lagen. I många fall definierar symmetrin i grunden vilka funktioner du letar efter. En typ av symmetri är paritet, och funktioner kan också ha paritet. Ta någon funktion f (x). En funktion är även om f (minus x) f (x) det är udda om f (minus x) minus f (x). Det här kanske inte låter imponerande, men en funktionsparitet kan vara en bra källa till information och ett sätt att kontrollera fel. Till exempel är produkten av två udda eller jämnfunktioner en jämn funktion, och en uddajämn produkt är udda (jämför positivegativa nummerprodukter). Om i en beräkning du märker detta håller inte sant, då vet du att det är ett fel någonstans. Symmetri kan också avsevärt minska antalet arbeten du behöver göra. Ta nästa summa, till exempel. Om du hittar något så här i naturen på ett test kan din första tanke vara ldquoWTF. rdquo (förutsatt att du inte springa bort skrikande). Som det händer, y 0, av symmetriska skäl. Funktionen är udda, så delarna till vänster och höger om x 0 avbryts. I stället för att försöka göra hela beräkningen kan du bara skriva ner svaret i en rad: ldquo0, symmetryrdquo cuz. En annan egenskap hos symmetriska funktioner är att om du bryter ner dem i serieutökningar, kommer oddliga funktioner bara att ha udda termer, och till och med funktioner har bara jämna villkor. Detta blir viktigt i nästa stycke. 1.2 Polynomial - och Taylor-utvidgningar Varje funktion kan delas upp i en mängd mer hanterbara funktioner. Ett ganska uppenbart val för dessa delfunktioner är ökande krafter på x. polynom. Den vanligaste av dessa är Taylor-serien. som använder en referenspunkt (a. f (a)) och extrapolerar till en annan punkt ett avstånd h bort genom att använda derivaten av f vid referenspunkten. I ekvationsformen ser det så ut: Chanserna är att du faktiskt har använt sig av Taylor-serien i spelprogrammering. När du genomför rörelse med acceleration ser du ofta något som Eq 4. Det här är de första tre termen i Taylor-expansionen. Stegstorleken (h i Eq 3 och Delta t i Eq 4) är liten, högre ordningsvillkor kommer att ha mindre effekt på slutresultatet. Detta gör att du kan minska utbyggnaden kort vid något tillfälle. Detta lämnar dig med en kort ekvation som du gör beräkningarna med och en sorts felperiod, bestående av den del du har tagit bort. Felbegreppet är vanligtvis kopplat till den ordning du har avkortat serien vid högre order, desto mer exakt är approximationen. Om du tränar matematiken för en sinus Taylor-serie, med en 0 som referenspunkt, slutar du med Eq 6. Observera att alla jämna krafter är iögonfallande frånvarande. Detta är vad jag menade med symmetri som är användbar: en sinusfunktion är udda, därför behövs bara udda termer i expansionen. Men det är mer än det. Noggrannheten ges av den högsta ordningen i det approximativa polynomet. Detta visar att det inte bara är något som helst att börja med något jämnt polynom eftersom du kan få en extra order i grunden gratis. Det är därför att använda en kvadratisk approximation för en sinus är något meningslöst, en kubik kommer också att ha två termer och vara mer exakt att starta. Bara för att den är krökt betyder inte att en parabola är den lämpligaste approximationen. 1.3 Kurvmontering (och ett tredje orderexempel) Att använda Taylorserien som underlag för en sinusimitation är bra, men det har också ett problem. Serien är tänkt att ha ett oändligt antal termer och när du trunkerar serien kommer du att förlora viss noggrannhet. Det här skulle naturligtvis förväntas, men det här är inte det verkliga problemet. Det verkliga problemet är att om din funktion har några viktiga punkter måste den passera (vilket säkert är sann för trigonometrifunktioner), kommer trunkningen att flytta kurvan bort från de poäng. För att fixa detta måste du använda ett polynom med ännu okända koefficienter (det vill säga multiplikatorer till krafterna) och en uppsättning villkor som måste uppfyllas. Dessa villkor bestämmer exakt värdet av koefficienterna. Taylor-expansionen kan tjäna som grunden för din initiala approximation, och de sista termerna bör vara ganska nära Taylor-koefficienterna. Låt oss prova detta för en tredje ordning (kubisk) sinus approximation. Tekniskt betyder en tredje ordningens polynom fyra okända men. Eftersom sinusen är udda är alla koefficienterna för jämn krafter noll. Det tar hand om hälften av koefficienterna redan. Jag sa att symmetri var användbart :). Startpolynomet reduceras till Eq7, vilket har två koefficienter a och b som måste bestämmas. För gott mått har Ive också tillsatt derivaten, eftersom det ofta är användbart att ha så bra. Två okända betyder att vi behöver två villkor för att lösa systemet. De mest användbara förhållandena är vanligtvis beteendet vid gränserna. När det gäller en sinus, betyder det att titta på x 0 andor x frac12pi. Det senare råkar vara mer användbart här, så vi kan titta på det. Först synden (frac12pi) 1, så det är en bra. Vi vet också att vid frac12pi en sinus är platt (ett derivat av 0). Detta är det andra villkoret. Villkoren är listade i EQ 8. Att lösa detta system är ganska enkelt och ger dig värden för a och b. som också ges i ekv 8. Observera att värdena är ungefär 5 och 30 borta från de rena Taylor-koefficienterna. I Fig 1 kan du se ett antal olika approximationer till sinus. Observera att Ive gjort en liten koordinatomvandling för x - axis: z x (frac12pi), så z 1 betyder x frac12pi. Fördelen med detta kommer att bli tydlig senare. Som du kan se, börjar den tredje ordningens Taylor expansion ut till höger, men går naturligtvis nära slutet. Däremot matchar tredje ordningens passform sinus vid båda ändpunkterna. Det finns också andra ordningens passform från devmaster webbplatsen. Som du kan se är approximationen av tredje ordningen närmare. Fig 1. Sine approximations med användning av 3: e ordningen Taylor och paraboliska kubiska polynomier för första kvadranten. z x frac12pi Kom ihåg att koefficienter från Eq 8 inte är de enda du kan använda. Villkoren definierar vad värdena kommer att vara olika villkor leder till olika värden. I stället för att använda derivatet på frac12pi kunde jag till exempel ha använt det vid x 0. Det bildar uppsättningen ekvationer av Eq 10 och, som du kan se är koefficienterna nu olika. Denna uppsättning är faktiskt mer exakt (ett medelvärde på 0,6 i stället för 1,1), men det har också några ganska osäkra egenskaper att ha ett maximum som inte är vid frac12pi och går över 1,0 det kan vara verkligen oroande om du tänker använda sinusen i någonting som rotation. 1.4 Dimenslösa variabler och koordinatomvandlingar För högre noggrannhet bör ett högre ordnings polynom användas. Innan du gör det, men Id vill nämna ett mer knep som kan göra din matematiska analys betydligt enklare: dimensionslösa variabler. Problemet med de flesta kvantiteter och ekvationer är enheter. Mätare, fötter, liter, gallons sådana typer av enheter. Enheter suger. För det finns olika enheter för identiska kvantiteter som kan vara en total smärta att konvertera och kan ibland leda till katastrof. Bokstavligen. Då är det faktum att enhetsstorlekarna i stort sett plockas slumpmässigt och har inget att göra med den fysiska situation som de används för. Så du har konstiga värden för konstanter som G i Newtons lagen om universell gravitation. ljusets hastighet c och Planckkonstanten. h. Att hålla reda på dessa saker i ekvationer är irriterande, särskilt eftersom de tenderar att stapla upp och alla vill hellre att Theyd bara går bort. Ange dimensionslösa variabler. Tanken här är att istället för att använda standardenheter uttrycker du kvantiteter som förhållanden till en meningsfull storlek. I relativitet får du till exempel ofta vc. hastighet över ljusets hastighet. Ekvationer blir mycket enklare om du bara betecknar hastigheter som fraktioner av ljusets hastighet: beta v c. Att använda beta i ekvationerna förenklar dem oerhört och har bonusen att du inte är knuten till någon specifik hastighetsenhet längre. Den dimensionella variabeln är en typ av koordinatomvandling. I synnerhet är det en skala av den ursprungliga variabeln till något mer användbart. En annan användbar transformation är översättning: flyttar variabeln till en mer lämplig position. Vi kommer att komma över detta senare men först: ett exempel på dimensionlösa variabler. En sinusvåg har massor av symmetrilinjer, som alla roterar runt kvartcirklarna. På grund av detta är termen som håller på att visas överallt frac12pi. Detta är den karakteristiska storleken på vågan. Genom att använda z x (frac12pi) är alla viktiga punkter nu integrerade z-värden. Att ha dem i dina ekvationer är generellt bra eftersom de tenderar att försvinna i multiplikationer. Titta på vad Eq 9 blir när det uttrycks i termer av z. Det ser inte mycket trevligare ut. Det går djupare än det. Med dimensionslösa enheter betyder det att enheterna som dina mätningar helt enkelt inte längre betyder. För vinklar betyder det att om du arbetar i radianer, grader eller brads, kommer de alla att resultera i samma cirkelbråk, z. Detta gör det mycket lättare att konvertera algoritmer till fast punktnotering. 2 Derivationer och implementeringar I avsnittet ovan diskuterade jag de verktyg som användes för analys och gav ett exempel på en kubisk approximation. I det här avsnittet erhåller jag också hög noggrannhet i fjärde och femte ordningens approximationer och visar några implementeringar. Innan det är det dock en terminologi att gå igenom. Eftersom flera olika approximationer kommer att täckas måste det finnas ett sätt att skilja dem alla. I princip kommer sinus approximationen att benämnas Sn. där n är polynomernas ordning. Så det ger S 2 till S 5. Jag kommer också att använda S 4d för fjärde ordningens approximation från devmaster. I avledningen av min egen fjärde ordning, använder jag Cn. för det som faktiskt kommer att härledas är en cosinus. Tredje ordningsimplementering Låt oss börja med att avsluta berättelsen om tredje ordningens tillnärmning. Huvudekvationen för detta är Eq 11. Eftersom denna ekvation fortfarande är ganska enkel, gör jag det här till en fast punktimplementering. Huvudproblemet med att vrida en flytpunktsfunktion till en fast punkt är att hålla reda på fastpunkten under beräkningarna, var noga med att det inte finns någon överflöde utan att det heller inte finns något underflöde. Det här är en av anledningarna till att jag skrev Eq 11 som det är: genom att använda nestade parentes kan du maximera noggrannheten av mellanliggande beräkningar och möjligen minimera antalet mellanliggande beräkningar och möjligen minimera antalet operationer som ska startas. För att korrekt beräkna fastpunktspositionerna måste du vara medveten om följande faktorer: Utfallets skala (dvs amplituden): 2 A Skalan på insidan parenteserna: 2 sid. Detta är nödvändigt för att hålla multiplikationerna överflödiga. Vinkelskalan: 2 n. Detta är i grunden värdet av frac12pi i fastpunktssystemet. Med x för vinkeln har du z x 2 n. Fyllning av detta i ekv 11 kommer att ge följande: med r 2 n minus p och s n p 1minus A. Dessa representerar de fast punktskift som du behöver ansöka om att hålla allt på nivån. Med p så hög som multiplikation med x tillåter och standard libnds-enheterna leder till följande nummer. Det är beräkningen som är nödvändig för den första kvadranten, men domänen för en sinus är oändlig. För att få resten av domänen kan du använda syanserna i sinusen: 2pi periodiciteten och frac12pi spegelsymmetrier. Den första tas hand om genom att göra z 4. Detta minskar domänen till de fyra kvadranterna i en cirkel. Nästa del är lite knepigt, så uppmärksamma. Titta på Fig 2. S 3 fungerar för kvadrant 0. Eftersom den är antisymmetrisk, kommer den också att korrekt beräkna kvadrant 3, vilket motsvarar kvadrant minus1. Kvadranter 1 och 2 är problemet. Som du kan se i Fig 2, vad som behöver hända är att de kvadranterna speglar på kvadranter 0 och minus1. En reflektion av x vid D definieras av ekv 13. I det här fallet betyder det att z 2 minus z Något test måste göras för att se när reflektionen ska äga rum. Kvadrantenumren i binär är 00, 01, 10, 11. Om du bygger ett sanningstabell runt det, så kommer du se att en XOR av de två bitarna kommer att göra tricket. Om du verkligen vill visa upp, kan du kombinera periodicitetsmodul och kvadranttest genom att göra aritmetiken i de övre bitarna. Implementeringen är nu klar. En sinus approximation via en tredje order ca. param x Vinkel (med 215 enhetercirkel) retur Sine värde (Q12) s32 isinS3 (s32 x) S (x) x ((3tttt) - (xxgtgtr)) gtgt s n. Q-post för kvartcirkel 13 A. Q-pos för utgång 12 p. Q-post för parentes mellanliggande 15 r 2n-p 11 s A-1-pn 17 statisk konst int qN 13. qA 12. qP 15 qR 2 qN-qP, qS qNqP 1 - qA x xltlt (30 - qN) skift till full s32-intervall (Q13-gtQ30) om ((x (xltlt 1)) lt) test för kvadrant 1 eller 2 x (1 ltt 31) - x retur x ((3 lttqP) - (xxgtgtqR)) gtgt qS , naturligtvis, det är en monteringsversion också. Dess enda tio instruktioner, som jag tycker är faktiskt kortare än en implementering av LUTlerp. ARM monteringsversion, med n13, p15, A12 A sinus approximation via en tredje order ca. param r0 Vinkel (med 215 enhetercirkel) retur Sinevärde (Q12).arm. align. global isinS3a isinS3a: mov r0. r0. lsl (30-13) teq r0. r0. lsl 1 rsbmi r0. r0. 1 ltlt 31 mov r0. r0. asr (30-13) mul r1. r0. r0 mov r1. r1. asr 11 rsb r1. r1. 3 LUt 15 MU R0. r1. r0 mov r0. r0. asr 17 bx lr Oh vänta, kravet var att ingången ska vara i Q12-radianer, rätt Weeell, det är ingen biggy. Du behöver bara göra x rarr z-omvandlingen själv. Tänk, 2 20 (2pi). Multiplicera x med detta ger z som ett Q30-nummer exakt vad den första raden i C-koden resulterade i. Det betyder att allt du behöver göra är att ändra första raden till x 166886. NDS special Den monteringsversion som anges ovan använder standard ARM-instruktioner, men en av de intressanta sakerna är att NDS ARM9-kärnan har speciella multipliceringsanvisningar. I synnerhet finns det SMULWx-instruktionen, som gör en wordhalfword-multiplikation, där halvordet kan vara antingen det övre eller nedre halvordet av operand 2. Huvudresultatet är 32times16rarr48 bits långt, varav endast de 32 bästa bitarna sätts i destinationen Registrera. Effektivt är det som en b gtgt16 utan överflödsproblem. Som en bonus är det också något snabbare än standard MUL. Genom att ändra parametrarna, kan nedväxlingsfaktorerna r och s göras 16, vilket passar perfekt med denna instruktion, även om den interna noggrannheten blir något sämre. Dessutom kan noggrann placering av varje instruktion undvika interlockcykeln som händer för multiplikationer. Alternativet isinS3a () blir: Special ARM-monteringsversion, med hjälp av n13 och mycket Q14 A-sinus approximation via en tredje order sinus, med speciella ARM9 instruktioner param r0 Vinkel (med 215 enhetercirkel) retur Sine värde (Q12).arm. align. global isinS3a9 isinS3a9: mov r0. r0. lsl (30-13) x Q30 teq r0. r0. lsl 1 rsbmi r0. r0. 1 lle 31 smulwt rl. r0. r0 yxx Q30Q14Q16 Q28 mov r2. 3 Ltl 13 B1432 sub rl. r2. r1. asr 15 32-y2 Q14Q28Q142 smulwt r0. r1. r0 Q14Q14Q16 Q12 Tekniskt är det bara två instruktioner mindre, men är ganska snabbare på grund av skillnaden i hastighet mellan MUL och SMULWx. 2.1 Hög precision, femte ordning Den tredje ordern approximationen har faktiskt fortfarande ett betydande fel, så det kan vara användbart att använda en extra term. Detta skulle vara femte ordningens approximation, S 5. Det och dess derivat ges i ekv 14. För att hitta termerna, kommer jag att använda z igen i stället för x. Anmärkningsvillkoren är positionen och derivatet vid z 1 och derivatet vid 0. Med dessa förhållanden bör approximationen uppträda amiskt i båda kanterna. Observera att dessa ekvationer är linjära med avseende på a. b och c. vilket innebär att det kan lösas via matriser. Tekniskt bildar detta ekvationssystem en 3 x 3-matris, men eftersom a redan är omedelbart känt kan det reduceras till ett 2 x 2-system. Jag sparar dig detaljerna, men det leder till koefficienterna för Eq 16. Notera den fullständiga frånvaron av några grymma pi 5 termer som skulle ha uppstått om du hade bestämt dig för att inte använda dimensionslösa termer. Eq 17 är den sista kvintiska approximationen i formuläret som är mest exakt och lättast att genomföra. Implementeringen är i grunden en förlängning av S 3-funktionen och lämnad som en övning för läsaren. 2.2 Hög precision, fjärde ordning Slutligen en fjärde ordning approximation. Normalt skulle jag inte ens överväga det här för en sinus (odd funktion odd power serie och allt det), men eftersom devmaster posten använder dem och de verkar även fungera, verkar det vara något för dem trots allt. Anledningen till att dessa approximationer fungerar är enkla: de faktiskt inte approximerar en sinus alls de approximerar en co-sinus. Och på grund av alla symmetrier och paralleller med sines och cosines kan man användas för att genomföra den andra. Eq 18 är den transformation du behöver utföra för att förvandla en cosinus till en sinusvåg. Detta kan enkelt göras i början av en algoritm. Vad som är kvar är att härleda en cosinus approximation. Eftersom en cosinus är jämn behöver bara lika kraft behövas. Basformen och dess derivat ges i ekv 19. För villkoren ser vi än en gång på z 0 och z 1 som kommer ner till ekvationen av ekvationer i Eq 20. En av de intressanta sakerna om jämn funktion är att derivat vid 0 är noll, så det är en freebie. En mycket viktig freebie, eftersom det betyder att en av de nödvändiga symmetrierna händer automatiskt. Den resulterande uppsättningen koefficienter är listade i Eq 21. Notera att b c 1, som kan användas senare. Den slutliga ekvationen för approximationen av fjärde ordningens cosinus är ekv 22. Endast tre MUL och två SUBs trevliga. Implementering Flyttpunktsimplementeringen av Eq 22 är återigen för lätt att nämna här, så jag fokuserar på fastpunktsvariationer. Gilla med S 3. Du kan mixa och matcha fastpunktspositioner tills du får något du gillar. I det här fallet håller jag mig till Q14 för nästan allt för att hålla det enkelt. Det verkliga tricket här är att ta reda på vad du behöver göra om alla andra kvadranter. Att skära ner till fyra kvadranter är återigen lätt. I övrigt, kom ihåg att cosinus approximationen beräknar de övre kvadranterna och du måste vrida tecknet på de nedre kvadranterna. Om du tycker om parametern som en sinus får, ser du att endast för udda halvcirklar måste tecknet ändras. Spåra detta kan göras med en enda bitvis AND eller en smart shift. En sinus approximation via en fjärde ordning cosinus ca. param x vinkel (med 215 enhetercirkel) retur Sine värde (Q12) s32 isinS4 (s32 x) int c, x2, y statisk konst int qN 13. qA 12. B 19900. C 3516 c xltlt (30 - qN) Halvcirkel info in carry. x - 1 ltltqN sinus-cosinus calc x xltlt (31 - qN) Mask med PI x xgtgt (31 - qN) Obs: SIGNED shift (till qN) x xxgtgt (2 qN-14) xx2 Till Q14 y B - (xCgtgt 14) B - x2C y (1 ltqA) - (xyggt 16) A - x2 (B-x2C) retur cgt 0. y. - y Och en ARM9 monteringsversion också. Som det händer är det bara två instuktioner längre än isinS3a9 (). ARM-monteringsversion av S4 C4 (gamma-1), med användning av n13, A12 och. diverse. En sinus approximation via en fjärde ordning cosinus param r0 Vinkel (med 215 enhetercirkel) retur Sine värde (Q12).arm. align. global isinS4a9 isinS4a9: movs r0. r0. lsl (31-13) r0x2 ltlt31 carryx2 sub r0. r0. 1 Lt 31 r0 - 1.0 sin lt-gt cos smulwt rl. r0. r0 r1xx Q31Q15Q16Q30 ldr r2, 14016 C (1-pi4) ltlt16 smulwt r0. r2. r1 Cx2gtgt16 Q16Q14Q16 Q14 tillsätt r2. r2. 1 Lt 16 B C1 rsb r0. r0. r2. asr 2 B - Cx2 Q14 smulwb r0. r1. r0x2 (B-Cx2) Q30Q14Q16 Q28 mov r1. 1 liter 12 sub r0. r1. r0. asr 16 1 - x2 (B-Cx2) rsbcs r0. r0. 0 Flip skylt för udda halvcirklar. Derivering approximations är trevligt och allt, men det är verkligen ingen mening om du inte gör något slags test för att se hur bra de utför. Jag tittar på två saker: noggrannhet och några hastighetsprov. För hastighetsprovet överväger jag bara de funktioner som ges här tillsammans med några traditionella. Noggrannhetstestet görs endast för den första kvadranten och i flytpunkten, men resultaten ska överföras väl till en fast punkt. Slutligen visar jag hur du kan optimera funktionerna för noggrannhet. 3.1 Tredje och fjärde ordningens hastighet För hastighetsprovet beräknade jag sinus vid 256 poäng för x isin 0, 2pi). Det kommer att finnas en del loop-overhead i siffrorna, men den ska vara liten. Tester utfördes på NDS. Funktioner som undersöks är de tre S 3 och två S 4 funktionerna som ges tidigare. Ive testade också standard floating point sin () biblioteksfunktionen, libnds sinLerp () och min egen isin () - funktion som du kan hitta i arctan: sine. De kumulativa och genomsnittliga tiderna finns i tabell 1. Tabell 1. sinuscykeltider (ungefär). Det första som ska vara klart är bara varför vi inte använder floating-point sinus. Jag menar allvarligt. Det finns också en tydlig skillnad mellan de Thumb-compiled och ARM-monteringsversionerna, den senare är betydligt snabbare. Inom de sammanställda versionerna tycker jag att det är intressant att se att de algoritmiska beräkningarna är faktiskt snabbare än de LUTlerp-baserade implementationerna. Jag antar att sätta alla dessa nummer från minnet suger verkligen. Och då är det monteringsversionerna. Wow. Jämfört med den sammanställda versionen är de två gånger så snabba och upp till fyra gånger så snabba som de LUT-baserade funktionerna. NDS-timers mäter halvcykler Cykeltiderna från Tabell 1 är inte meningsfulla om du räknar instruktionscykler. Till exempel, för isinS3a, bör funktionen overhead ensam redan vara omkring 10 cykler. Saken här är att numren tas från hårdvarutimmerna, som använder busfrekvensen (33 MHz) istället för ARM9 cpu (66 MHz). Som sådan mäter den i halvcykler. För detaljer, se gbatek: nds-timings. 3.2 Noggrannhet Fig 4 visar alla approximationer i ett diagram. Det visar bara en kvadrant eftersom resten kan hämtas genom symmetri. Ive också skalade sinus och dess approximationer med 2 12 eftersom det är den skala som vanlig fast punkt skala just nu. Och för att vara säker, ja, det här är ett annat diagram än Fig 1, det är bara svårt att berätta eftersom fjärde och femte orderfunktionerna är nästan identiska med den riktiga sinuslinjen. För hög noggrannhet approximationer, är det bättre att titta på Fig 5, som visar fel. Här kan du tydligt se skillnaden mellan S 4d och S 5. den senare är ungefär 3 gånger bättre. Theres också en stor skillnad mellan devmaster fjärde ordning sinus och min egen. Anledningen till detta är en skillnad i förhållandena. I mitt fall har jag fixerat derivaten vid båda ändpunkterna, vilket alltid resulterar i en över - eller underskattning. Devmasters S 4d släppte dessa villkor och minimerade felet. Jag gör också det här i nästa underavsnitt. Tabell 2 och Tabell 3 visar en intressant statistik om de olika approximationerna, nämligen minsta, genomsnittliga och maximala fel. Det innehåller också en ROT-avstånd (RMSD), vilket är en speciell typ av avstånd. Om du betraktar datapunkterna som en vektor är RMSD den genomsnittliga pythagoranska längden för varje punkt. Tabell 2 är normaliserad till 2 12. Tabell 3 är tabell för den traditionella flytpunkts sinusskalan. RMSD-värdena är förmodligen det mest användbara att titta på. Från dem kan du se att det finns ett stort gap mellan funktionerna med låg noggrannhet och hög precision på ungefär en faktor 60. Och om du gör din matte rätt, kostar det bara en multiplikation och ett tillägg, och kanske några extra skift i fast punktet fallet. Det är ganska bra. Jämfört med det är skillnaden mellan udda och jämnliga funktioner lite mager: bara en faktor tre eller så. Ändå är det något. Om du tittar på fixpunktstabellen ser du att felet du gör med S 4d och S 5 finns i enkelsiffrorna. Detta innebär att detta förmodligen är tillräckligt nog för praktiska ändamål. Tillsammans med det faktum att även femte ordningens polynom kan göras ganska snabbt, gör det dem värda att överväga över LUT. Tabell 2. felstatistik för 2 12 sin (x) ca. 3.3 Optimera högre order approximationer Från diagrammen kan du se att S 4 och S 5 alla är fel på samma sida av sinuslinjen. Du kan öka noggrannheten för approximationen genom att justera koefficienterna på ett sådant sätt att felen omfördelas på ett föredraget sätt. Två metoder är möjliga här: skjut för ett nollfelvärde eller minimera RMSD. Teknisk minimering av RMSD är standard (det gäller minimal kvadrat optimering), men eftersom ett nollmedel ger en analytisk lösning, använder jag det. I alla fall kommer skillnaderna i utfallet att vara små. Tänk först på vad ett medelvärde av en funktion betyder. Medelvärdet av en uppsättning tal är summan dividerad med storleken på uppsättningen. För funktioner är dess integral av den funktionen dividerad med intervallet. När du vill ha ett nollmedelvärde för en approximation, ska integralen av funktionen och den som är approximativen vara lika. Med en polynomial approximation till en sinus får vi: med en n reducerande till koefficienterna för de polynomier vi haft tidigare. Detta kan användas som ett alternativt villkor till derivatet vid 0. För S 4 och S 5. kommer du att sluta med följande koefficienter. Om du fortfarande vaknar och kom ihåg devmaster S 4d-koefficienterna, borde det vara något som är bekant med en 4. Ja, de är nästan identiska. Om du optimerar S 4 för RMSD får du faktiskt samma funktion som S 4d. Tabell 4 visar statistiken för de ursprungliga approximationerna och de nya optimerade versionerna, S 4o och S 5o. Siffrorna för S 4o är i grunden de som ses från S 4d tidigare. Mer intressant är detaljerna för S 5o. Maximala och minsta fel är nu inom plusmn1. Det vill säga, denna approximation ger värden som högst är 1 avstånd från den korrekta Q12-sinusen. Det handlar om så bra som någon Q12-approximation kan få. 4 Sammanfattning och slutliga tankar Här är några saker att ta ifrån allt detta. Symmetri är din vän. När man bygger en polynom approximation, betyder fler villkor högre noggrannhet. Symmetriegenskaperna för funktionen approximerade låter dig ta bort termer från hänsyn, förenkla ekvationen. Koordineringstransformationer är dina vänner också. Ibland är det mycket lättare att arbeta på en skalad eller rörd version av det ursprungliga problemet. Om din situation har en karakteristisk längd (eller tid, hastighet, vad som helst) överväga att använda dimensionlösa variabler: uttrycka parametrar som förhållanden av den karakteristiska längden. Detta gör de initiala enheterna ganska irrelevanta. För vinklar, tänk cirkelfraktioner. Noll och en (0 och 1) är de bästa värdena att ha i dina ekvationer, eftersom de tenderar att försvinna lätt. Varje approximationsformel har koefficienter som ska bestämmas. Generellt sett är Taylor-seriemärdena inte de bästa inställda värdena något förskjutna från dessa termer kommer att vara bättre eftersom de kan korrigera för trunkeringen. För att bestämma värdena på koefficienterna, definiera vissa villkor som måste uppfyllas. Exempel på förhållanden är värden för funktionen och dess derivat vid gränserna eller dess integraler. Eller du kan wuss ut och bara dumpa saken i Excel Solver. När man konverterar till fast punkt kommer noggrannhet och överflöde in i bränningen. Om du känner till funktionens domän på förhand kan du optimera för noggrannhet. Det hjälper också om du konstruerar algoritmen i en slags rekursiv form istället för ett rent polynom: inte en x b x 2 men x (a x b). Bestämd så här kräver varje ny tilläggsperiod endast en multiplikation och en extra tillägg. För fast-punkt-arbete är SMULWx enorm. Även en fjärde ordning (och förmodligen femte ordning) polynomimplementering i C är snabbare än LUT-baserade sines på NDS. Och specialiserade monteringsversioner är betydligt snabbare än. Skillnaden i noggrannhet av S 4 vs S 2 eller S 5 vs S 3 är enorm: en faktor på 60. Att gå från en jämn till nästa udda approximation får dig bara en faktor 3. Skam-ID hoppas att det ska vara mer. Till skillnad från vad jag ursprungligen trodde, fungerar de jämnaste polynomerna ganska bra. Detta beror på att de faktiskt modifierade cosinus approximationer. Övningar för läsaren Uttrycka den parabolära approximationen S 2 (x) av Eq 1 i termer av z. s inte svårt, lovar jag Implement the fixed-point version of the fifth-order sine approximation, S 5 ( x ). For the masochists: derive the coefficients for S 5 ( x ) without dimensionless variables. That is to say, with the conditions at x frac12pi instead of z 1. Solve Eq 24 and Eq 25 for minimal RMDS. Also, try to derive an analytical form for minimal RMDS I think its exists, but it may be tricky to come up with the right form. 63 thoughts on ldquo Another fast fixed-point sine approximation rdquo Comment navigation Okay, Ive uploaded two files in a zip that you can take a look at. You can find them here . sine-aprx. xls is my original filed during writing the article. Despair all ye who enter here isins3.xlsx specifically covers isins3() as its given above. Theres some magic in column K and L to emulate integer overflow, but the rest is pretty straightforward. The sheet is set up for quadrant 0, but you can fiddle with cells B2 and B3 to change the interval and angle scale. 1). sin(18) 0.309, which translates to 4F1h which is a better match to 4BCh It is not clear to me how you got 4F1 which equation is been used to get 4F1h. sin(18) 0.3090170273 is clear to me. Fixed-point just means. apply a scaling factor to everything. A Q12 (12-bit fixed-point number) value means. scale everything by 2 12. So sin(18) 4096 1265 04F1h. 18 is 0.05 circle. Look up that value in the spreadsheet to see the real sin value and compare it with isins3. 2) I have another question which needs clarification, isnt x u16 when unit circle is been divided into Q15(32768) I answered to myself this way and I want to cross check with you, -32768 to 0 -- gives sine on negative x-axis(-2pi, -3pi2, - pi, - pi2, 0) 0 to 32768 -- gives sine on positive x-axis(0, pi2, pi, 3pi2, 2pi) just because s16 range is -32768 to 32767, just for one bit on the positive side, you want to use s32, which accomodates -32768 to 32768(do you agree that, this should be mentioned as Q16 instead of Q15) and similarly for -65536 to 65536(Q17). Is my interpretation correct No, this isnt how it works. You have a circle. What you want as the domain is a full run around the circle. For radians, thatd be 0, 2pi). Or minuspi, pi), it doesnt really matter. What matters is: you want one run around the circle. Everything else just maps back to that. When you normalize that run, you get a natural 0, 1) domain, where 0 means the starting point, frac14 means frac14 circle, etc. In Q15, that 0, 1) domain translates to 0, 2 15 ). What youre proposing is a -1, 1) domain, which covers two circles. Because everything just repeats, theres no need to cover positive and negative directions separately, because the sine over -1, 0) is identical to that over 0, 1) (and 1, 2), etc). This periodicity is automatic if you use 16-bit variables and a 2 16 - unit circle. - frac14-circle then automatically maps to frac34-circle, or vice versa via integer overflow. Comment navigation